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Apollo bietet 7,15 £ pro Aktie, Castlelake 6,90 £.
EasyJet-Aufsichtsrat bevorzugt nun Apollo-Angebot.
EU-Vorschriften verlangen mehrheitlich EU-Besitz der Airline.
EasyJet beschäftigt über 19.000 Mitarbeiter und fliegt 1.200 Routen.
Frist für Apollos verbindliches Angebot endet am 7. August.
"Der Bieterkrieg könnte den Aktienkurs weiter antreiben, während die EU-Regularien die endgültige Übernahme erschweren."